tarea#3demostracion

Aplicaciones de Producto Escalar y Producto Vectorial

VIERNES 8 DE ABRIL DE 2011

Asignación:
Nota: las letras A B C cada una indica un vector y sus componentes serán expresada en i j k respectivamente.
1. A.(BXC) Razonar y determinar el resultado de esta expresión.
Esta expresión dará como resultado un número real que representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas están formadas por los vectores A B C.

Sabiendo que el producto mixto de tres vectores es el determinante de la matriz definida por las componentes cartesianas de los tres vectores.

                     Ai Aj Ak        Bj Bk        Bi Bk            Bi Bj

A.(BXC) =       Bi Bj Bk = Ai           - Aj             + AK
                     Ci Cj Ck       CJ Ck       Ci Ck           Ci Cj

A.(BXC)= AiBjCk+AjCiBk+AkBiCk – AiBkCj – AjBiCk - AkBjCi

2. Demostrar que A.(B X C) = B.(C X A) = C.(A X B)

                     Ai Aj Ak       Bj Bk          Bi Bk              Bi Bj
A.(BXC) =       Bi Bj Bk = Ai             - Aj              + AK
                     Ci Cj Ck       CJ Ck         Ci Ck              Ci Cj

A.(BXC)= AiBjCk + AjCiBk + AkBiCk – AiBkCj – AjBiCk - AkBjCi


                      Bi Bj Bk        Aj Ak        AiAk               Ai Aj
B.(AXC) =       Ai Aj Ak  = Bi           - Bj               + BK
                     Ci Cj Ck        CJ Ck        Ci Ck              Ci Cj


B.(CXC)= BiAjCk + BjCiAk + BkAiCk –BiAkCj – BjAiCk - BkAjCi

                      Ci Cj Ck          Bj Bk          Bi Bk             Bi Bj
C.(BXA) =       Bi Bj Bk = Ci             - Cj             + CK
                      Ai Aj Ak          Aj Ak         AiAk              Ai Aj

C.(BXA)= AiBjCk + AjCiBk + AkBiCk – AiBkCj – AjBiCk - AkBjCi


Se puede concluir que A.(BXC) = B.(AXC) = C.(BXA)

3. ¿En qué condiciones puede ser puede ser negativo el productor escalar de dos vectores?
Sabiendo que se puede definir en producto escalar A y B

A.B= | A| .| B|. Cos (AB)

Los módulos de los vectores siempre serán positivos y la función Cos es negativa en el Segundo y tercer cuadrante del eje de coordenadas cartesianas. Se puede concluir que un producto escalar negativo indica que el ángulo entre los vectores es mayor de 90° pero menor a 270.
Angulo entre A y B mayor de 90º pero menor a 270º

4. Escriba los resultados de
4.1. A.B si A es paralelo a B
Sabiendo que se puede definir en producto escalar A y B

A.B= | A| . | B|. Cos (AB) Si A y B son paralelos entonces cos (AB) es igual a 1 se puede concluir que :

A.B= | A |. |B|

4.2. A.B si A es perpendicular a B
Sabiendo que se puede definir en producto escalar A y B

A.B=| A| . | B|. Cos (AB) Si A y B son perpendiculares entonces cos (AB) es igual a 0 se puede concluir que :

A.B= 0
4.3 AXB si A es paralelo a B
Sabiendo que se puede definir en producto Vectorial A y B

AXB. =| A| . | B| sen (AB) Si A y B son paralelos entonces sen (AB) es igual a 0 se puede concluir que :
AXB= 0
4.4 AXB si A es perpendicular a B
Sabiendo que se puede definir en producto Vectorial A y B

AXB==| A| . | B|. sen (AB) Si A y B son perpendiculares entonces sen(AB) es igual a 1 se puede concluir que :
AXB=| A| . | B|
5. Dado dos vectores A y B calcular:
5.a . La componente A en dirección de B

|A| por el cos (AB)
Además sabiendo que A.B==| A| . | B|. Cos (AB) se puede concluir que
Proy A en B= A.B/ | B|

5.b . La componente B en dirección de A


| B| por el cos (AB)
Además sabiendo que: A.B=| A| . | B|. Cos (AB) se puede concluir que
Proy B en A= A.B / | A|

6. Si A.B= A.C implica que B=C

No necesariamente pues si se cumplen las siguientes condiciones B es diferente de C
- Cos (AB) mismo signo que Cos (AC).
- |C| = |B|
- Angulo entre B y C igual a 90°

Ejemplo
A =| 3| con 0° B= |2| con 45° C= |2| con 315°

|A|.|B|. Cos (45°)= |3|.|2|.Cos (45°)= 4.2426406

|A|.|C|.Cos (315°)= |3|.|2|.Cos (315°)= 4.2426406

|A|.|B|. Cos (45°)= |A|.|C|.Cos (315°) Pero B es diferente de C.

7. Si AXB = AXC Implica que B= C

No necesariamente pues si se cumplen las siguientes condiciones B es diferente de C
- Sen (AB) mismo signo que Sen (AC).
- |C| = |B|
- Angulo entre B y C igual a 90°

Ejemplo
A =| 3| con 90° B= |2| con 45° C= |2| con 135°

|A|.|B|. Sen (45°)= |3|.|2|.Sen (45°)= 4.2426406

|A|.|C|.Sen (315°)= |3|.|2|.Sen (315°)=4.2426406

|A|.|B|. Sen (45°)= |A|.|C|.Sen (315°) Pero B es diferente de C.

TEORIA ELECTROMAGNETICA

TEORIA ELECTROMAGNETICA

El electromagnetismo:

Es una rama de la Física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Michael Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica, polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como ecuaciones de Maxwell.

El electromagnetismo es una teoría de campos; es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas vectoriales o tensoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos y sus efectos sobre las sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Por ser una teoría macroscópica, es decir, aplicable sólo a un número muy grande de partículas y a distancias grandes respecto de las dimensiones de éstas, el Electromagnetismo no describe los fenómenos atómicos y moleculares, para los que es necesario usar la Mecánica Cuántica.

El electromagnetismo considerado como fuerza es una de las cuatro fuerzas fundamentales del universo actualmente conocido.

Cantidades fuentes del modelo electromagnético:

Cantidades fundamentales del campo electromagnético
Símbolos y unidades para las cantidades del campo	CANTIDADES DE CAMPO	SIMBOLO	UNIDAD
ELÈCTRICO	Intensidad del campo eléctrico	E	V/m
	Densidad de flujo eléctrico	D	C/ m2
MAGNÈTICO	Densidad de flujo magnético	B	T
	Intensidad de campo magnético	H	A/m
Donde: V en voltios, m en metros; T en tesla, A en amperes

Función puntual a partir del concepto de carga puntual:

 Unidades fundamentales en el sistema MKS del electromagnetismo:

Carga puntual es una carga eléctrica hipotética, de magnitud finita, contenida en un punto geométrico carente de toda dimensión, en otras palabras una carga puntual consiste en dos cuerpos con carga que son muy pequeños en comparación con la distancia que los separa, Esta suposición resulta muy práctica al resolver problemas de electrostática, pues los efectos derivados de una distribución de cargas en un espacio finito se anulan y el problema se simplifica enormemente.

Ya que el punto no tiene volumen, superficie ni longitud, la densidad (lineal, de superficie o volumétrica) de una carga puntual de magnitud finita es infinita; así que las cargas puntuales no existen en realidad. por ejemplo. Si trasladamos este concepto a una función puntual podemos decir que esta es aquella que presenta cargas puntuales en las diferentes coordenadas en función del tiempo y su acción sobre su alrededor no está limitada a un espacio confinado.

La densidad de carga es una función puntual:

            En algunas situaciones físicas podemos identificar una cantidad de carga Δq con un elemento de superficie Δs o un elemento line Δl. En estos casos será más apropiado definir una densidad superficial de carga ρ_s , o una densidad lineal de carga ρl

ρ_s=lim_Δs→0 Δq/Δs

ρ_l=lim_Δl→0 Δq/Δl

Excepto en algunas ocasiones especiales, las densidades de carga varían de un punto a otro; por consiguiente, la densidad de carga en términos generales son funciones puntuales de las coordenadas espaciales.

Cantidad	Unidad	Abreviatura
Longitud	Metro	m
Masa	Kilogramo	kg
Tiempo	Segundo	s
Corriente	Ampere	A