Aplicaciones de Producto Escalar y Producto Vectorial

VIERNES 8 DE ABRIL DE 2011

Asignación:
Nota: las letras A B C cada una indica un vector y sus componentes serán expresada en i j k respectivamente.
1. A.(BXC) Razonar y determinar el resultado de esta expresión.
Esta expresión dará como resultado un número real que representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas están formadas por los vectores A B C.

Sabiendo que el producto mixto de tres vectores es el determinante de la matriz definida por las componentes cartesianas de los tres vectores.

                     Ai Aj Ak        Bj Bk        Bi Bk            Bi Bj

A.(BXC) =       Bi Bj Bk = Ai           - Aj             + AK
                     Ci Cj Ck       CJ Ck       Ci Ck           Ci Cj

A.(BXC)= AiBjCk+AjCiBk+AkBiCk – AiBkCj – AjBiCk - AkBjCi

2. Demostrar que A.(B X C) = B.(C X A) = C.(A X B)

                     Ai Aj Ak       Bj Bk          Bi Bk              Bi Bj
A.(BXC) =       Bi Bj Bk = Ai             - Aj              + AK
                     Ci Cj Ck       CJ Ck         Ci Ck              Ci Cj

A.(BXC)= AiBjCk + AjCiBk + AkBiCk – AiBkCj – AjBiCk - AkBjCi


                      Bi Bj Bk        Aj Ak        AiAk               Ai Aj
B.(AXC) =       Ai Aj Ak  = Bi           - Bj               + BK
                     Ci Cj Ck        CJ Ck        Ci Ck              Ci Cj


B.(CXC)= BiAjCk + BjCiAk + BkAiCk –BiAkCj – BjAiCk - BkAjCi

                      Ci Cj Ck          Bj Bk          Bi Bk             Bi Bj
C.(BXA) =       Bi Bj Bk = Ci             - Cj             + CK
                      Ai Aj Ak          Aj Ak         AiAk              Ai Aj

C.(BXA)= AiBjCk + AjCiBk + AkBiCk – AiBkCj – AjBiCk - AkBjCi


Se puede concluir que A.(BXC) = B.(AXC) = C.(BXA)

3. ¿En qué condiciones puede ser puede ser negativo el productor escalar de dos vectores?
Sabiendo que se puede definir en producto escalar A y B

A.B= | A| .| B|. Cos (AB)

Los módulos de los vectores siempre serán positivos y la función Cos es negativa en el Segundo y tercer cuadrante del eje de coordenadas cartesianas. Se puede concluir que un producto escalar negativo indica que el ángulo entre los vectores es mayor de 90° pero menor a 270.
Angulo entre A y B mayor de 90º pero menor a 270º

4. Escriba los resultados de
4.1. A.B si A es paralelo a B
Sabiendo que se puede definir en producto escalar A y B

A.B= | A| . | B|. Cos (AB) Si A y B son paralelos entonces cos (AB) es igual a 1 se puede concluir que :

A.B= | A |. |B|

4.2. A.B si A es perpendicular a B
Sabiendo que se puede definir en producto escalar A y B

A.B=| A| . | B|. Cos (AB) Si A y B son perpendiculares entonces cos (AB) es igual a 0 se puede concluir que :

A.B= 0
4.3 AXB si A es paralelo a B
Sabiendo que se puede definir en producto Vectorial A y B

AXB. =| A| . | B| sen (AB) Si A y B son paralelos entonces sen (AB) es igual a 0 se puede concluir que :
AXB= 0
4.4 AXB si A es perpendicular a B
Sabiendo que se puede definir en producto Vectorial A y B

AXB==| A| . | B|. sen (AB) Si A y B son perpendiculares entonces sen(AB) es igual a 1 se puede concluir que :
AXB=| A| . | B|
5. Dado dos vectores A y B calcular:
5.a . La componente A en dirección de B

|A| por el cos (AB)
Además sabiendo que A.B==| A| . | B|. Cos (AB) se puede concluir que
Proy A en B= A.B/ | B|

5.b . La componente B en dirección de A


| B| por el cos (AB)
Además sabiendo que: A.B=| A| . | B|. Cos (AB) se puede concluir que
Proy B en A= A.B / | A|

6. Si A.B= A.C implica que B=C

No necesariamente pues si se cumplen las siguientes condiciones B es diferente de C
- Cos (AB) mismo signo que Cos (AC).
- |C| = |B|
- Angulo entre B y C igual a 90°

Ejemplo
A =| 3| con 0° B= |2| con 45° C= |2| con 315°

|A|.|B|. Cos (45°)= |3|.|2|.Cos (45°)= 4.2426406

|A|.|C|.Cos (315°)= |3|.|2|.Cos (315°)= 4.2426406

|A|.|B|. Cos (45°)= |A|.|C|.Cos (315°) Pero B es diferente de C.

7. Si AXB = AXC Implica que B= C

No necesariamente pues si se cumplen las siguientes condiciones B es diferente de C
- Sen (AB) mismo signo que Sen (AC).
- |C| = |B|
- Angulo entre B y C igual a 90°

Ejemplo
A =| 3| con 90° B= |2| con 45° C= |2| con 135°

|A|.|B|. Sen (45°)= |3|.|2|.Sen (45°)= 4.2426406

|A|.|C|.Sen (315°)= |3|.|2|.Sen (315°)=4.2426406

|A|.|B|. Sen (45°)= |A|.|C|.Sen (315°) Pero B es diferente de C.